5. При каких значениях а уравнение х² + 8ах имеет два действительных корня?

Уравнение $$x^2 + 8ax - 15a + 1 = 0$$ имеет два действительных корня, если дискриминант положительный: $$D = (8a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15a + 1) > 0$$ $$64a^2 + 60a - 4 > 0$$ $$16a^2 + 15a - 1 > 0$$ Найдем корни квадратного уравнения $$16a^2 + 15a - 1 = 0$$: $$D = 15^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-1) = 225 + 64 = 289$$ $$a_1 = \frac{-15 + \sqrt{289}}{32} = \frac{-15 + 17}{32} = \frac{2}{32} = \frac{1}{16}$$ $$a_2 = \frac{-15 - \sqrt{289}}{32} = \frac{-15 - 17}{32} = \frac{-32}{32} = -1$$ Так как коэффициент при $$a^2$$ положительный, то парабола направлена вверх. Значит, неравенство выполняется при $$a < -1$$ или $$a > \frac{1}{16}$$. Ответ: $$(-\infty; -1) \cup (\frac{1}{16}; +\infty)$$