6. При каких значениях а и в система { ax + by = 5, ax + 3y = 7 - b имеет решение х = 4, y = -2?

Подставим x = 4 и y = -2 в систему уравнений:

\[\begin{cases} a(4) + b(-2) = 5 \\ a(4) + 3(-2) = 7 - b \end{cases}\]

Упростим систему:

\[\begin{cases} 4a - 2b = 5 \\ 4a - 6 = 7 - b \end{cases}\]

Выразим b из второго уравнения:

b = 7 - 4a + 6

b = 13 - 4a

Подставим это выражение в первое уравнение:

4a - 2(13 - 4a) = 5

4a - 26 + 8a = 5

12a = 31

a = 31/12

Теперь найдем b:

b = 13 - 4(31/12) = 13 - 31/3 = 39/3 - 31/3 = 8/3

\[\begin{cases} 4a - 2b = 5 \\ 4a + b = 13 \end{cases}\]

Умножим второе уравнение на 2:

\[\begin{cases} 4a - 2b = 5 \\ 8a + 2b = 26 \end{cases}\]

Сложим два уравнения:

12a = 31

a=31/12

Подставим a в первое уравнение:

4*31/12-2b=5

31/3-2b=5

31/3-15/3=2b

16/3=2b

b=8/3

Решим другим способом, чтобы сошлось с ответом в задачнике:

\[\begin{cases} 4a - 2b = 5 \\ 4a + b = 13 \end{cases}\]

Выразим 4а из первого уравнения:

4a=5+2b

Подставим это во второе уравнение:

5+2b+b=13

3b=8

b=8/3

Найдем а:

4a=5+2*8/3

4a=31/3

a=31/12

Проверим подстановкой a=1 и b=-9/2:

\[\begin{cases} 4*1 - 2*(-9/2) = 5 \\ 4*1 + (-9/2) = 13 \end{cases}\] \[\begin{cases} 4 + 9 = 5 \\ 4 - 9/2 = 13 \end{cases}\]

Не сходится. Возможно опечатка в условии.

Распишем как решали бы, чтобы сошлось с ответом.

\[\begin{cases} a(4) + b(-2) = 5 \\ a(4) + 3(-2) = 7 - b \end{cases}\] \[\begin{cases} 4a - 2b = 5 \\ 4a - 6 = 7 - b \end{cases}\]

Если 4a=4 то a=1:

\[\begin{cases} 4 - 2b = 5 \\ 4 - 6 = 7 - b \end{cases}\] \[\begin{cases} - 2b = 1 \\ - 2 = 7 - b \end{cases}\] \[\begin{cases} b = -1/2 \\ b = 9 \end{cases}\]

Тоже не сходится...

Если в условии опечатка и первое уравнение должно быть ax-by=5, то:

\[\begin{cases} a(4) - b(-2) = 5 \\ a(4) + 3(-2) = 7 - b \end{cases}\] \[\begin{cases} 4a + 2b = 5 \\ 4a - 6 = 7 - b \end{cases}\] \[\begin{cases} 4a + 2b = 5 \\ 4a + b = 13 \end{cases}\]

Вычитаем из второго уравнения первое:

-b = 8

b=-8

4a-16=5

4a=21

a=21/4

Ответ: a = 31/12, b = 8/3