2) Постройте точки $$B_1$$ и $$C_1$$, симметричные вершинам $$B$$ и $$C$$ треугольника $$ABC$$ относительно вершины $$A$$. Докажите, что $$BCB_1C_1$$ – параллелограмм.

2) По условию $$B_1$$ симметрична $$B$$ относительно $$A$$, значит, $$BA = AB_1$$. Аналогично, $$CA = AC_1$$. Обозначим $$\angle BAC = \alpha$$.

Тогда $$\angle B_1AC_1 = \angle BAC = \alpha$$ как вертикальные углы.

Рассмотрим треугольники $$BAC$$ и $$B_1AC_1$$. У них $$BA = AB_1$$, $$CA = AC_1$$ и $$\angle BAC = \angle B_1AC_1$$. Следовательно, $$\triangle BAC = \triangle B_1AC_1$$ по двум сторонам и углу между ними.

Значит, $$BC = B_1C_1$$ и $$\angle ABC = \angle AB_1C_1$$.

Так как $$\angle BAC = \angle B_1AC_1$$, то точки $$B_1$$, $$A$$, $$C_1$$ лежат на одной прямой, и точки $$B$$, $$A$$, $$C$$ лежат на одной прямой.

Рассмотрим четырехугольник $$BCB_1C_1$$. У него $$BC = B_1C_1$$. Докажем, что $$BB_1 \parallel CC_1$$. Так как $$BA = AB_1$$ и $$CA = AC_1$$, то $$A$$ – середина $$BB_1$$ и $$A$$ – середина $$CC_1$$. Следовательно, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в точке $$A$$ и делятся этой точкой пополам. Значит, $$BCB_1C_1$$ – параллелограмм (по признаку: если диагонали четырехугольника пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм).