22 Постройте график функции y = x²-|4x+5|. Определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно три общие точки.

$$y = x^2 - |4x+5|$$

Рассмотрим два случая:

1. $$4x+5 \ge 0$$, т.е. $$x \ge -\frac{5}{4}$$. Тогда $$|4x+5| = 4x+5$$.

   $$y = x^2 - (4x+5) = x^2 - 4x - 5$$.

2. $$4x+5 < 0$$, т.е. $$x < -\frac{5}{4}$$. Тогда $$|4x+5| = -(4x+5) = -4x-5$$.

   $$y = x^2 - (-4x-5) = x^2 + 4x + 5$$.

$$y = \begin{cases} x^2 + 4x + 5, x < -\frac{5}{4}\\ x^2 - 4x - 5, x \ge -\frac{5}{4} \end{cases}$$

Найдем вершину каждой параболы:

Для $$y = x^2 + 4x + 5$$, $$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2} = -2$$. $$y_в = (-2)^2 + 4(-2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$$.

Для $$y = x^2 - 4x - 5$$, $$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2} = 2$$. $$y_в = (2)^2 - 4(2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$$.

Точка соединения двух графиков: $$x = -\frac{5}{4} = -1.25$$.

$$y = (-1.25)^2 - 4(-1.25) - 5 = 1.5625 + 5 - 5 = 1.5625$$.

$$y = (-1.25)^2 + 4(-1.25) + 5 = 1.5625 - 5 + 5 = 1.5625$$.

Нули функции $$y = x^2 - 4x - 5$$ это x = -1, x = 5, а нули $$y = x^2 + 4x + 5$$ не существуют.

Для построения графика функции $$y = x^2 - |4x+5|$$:

      |
      |
      |
------|------
      |     /\
      |    /  \
      |   /    \
      |  /      \
      | /        \
      |/          \
      *------------*   <--- y = 1.5625
     /|            \
    / |             \
   /  |              \
  /   |               \
 /    |                \
*-----*----------------*  <--- y = -9

Прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки, когда она проходит через вершину параболы $$y = x^2 + 4x + 5$$, то есть m = 1, или через точку соединения графиков, то есть m = 1.5625.

Ответ: 1; 1.5625