Постройте график функции y = \(\frac{(0,5x^2+0,5x)\cdot|x|}{x+1}\). Определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.

Решение:

Рассмотрим функцию \( y = \frac{(0,5x^2+0,5x)\cdot|x|}{x+1} \).

Вынесем общий множитель \( 0,5x \) из первой скобки:

\[ y = \frac{0,5x(x+1)\cdot|x|}{x+1} \]

При \( x \neq -1 \) и \( x \neq 0 \) (из-за \( |x| \)), можем сократить \( (x+1) \):

\[ y = 0,5x \cdot |x| \]

Теперь рассмотрим два случая для \( |x| \):

1. Если \( x > 0 \):

\[ y = 0,5x \cdot x = 0,5x^2 \]

Это часть параболы \( y = 0,5x^2 \) для \( x > 0 \).

2. Если \( x < 0 \):

\[ y = 0,5x \cdot (-x) = -0,5x^2 \]

Это часть параболы \( y = -0,5x^2 \) для \( x < 0 \).

Также нужно учесть ограничения: \( x \neq -1 \) и \( x \neq 0 \).

При \( x = -1 \), \( y = -0,5(-1)^2 = -0,5 \). Точка \( (-1, -0,5) \) выколота.

При \( x = 0 \), \( y = 0 \). Точка \( (0, 0) \) выколота.

График состоит из двух частей параболы \( y = 0,5x^2 \) (при \( x>0 \)) и \( y = -0,5x^2 \) (при \( x<0 \)), с выколотыми точками \( (-1, -0,5) \) и \( (0, 0) \).

Прямая \( y = m \) не будет иметь общих точек с графиком, если она проходит через выколотые точки или находится ниже самой нижней точки графика.

Наименьшее значение функции \( y = -0,5x^2 \) при \( x < 0 \) стремится к \( -\infty \).

Однако, если \( m = -0,5 \), то прямая \( y = -0,5 \) будет проходить через выколотую точку \( (-1, -0,5) \) и не будет иметь других точек пересечения с графиком для \( x < 0 \).

Для \( x > 0 \), \( y = 0,5x^2 \) имеет минимальное значение 0 (но точка (0,0) выколота).

Таким образом, прямая \( y = m \) не будет иметь общих точек с графиком, если \( m = -0,5 \) (так как точка \( (-1, -0,5) \) выколота) или если \( m = 0 \) (так как точка \( (0, 0) \) выколота).

Ответ: \( m = -0,5 \) и \( m = 0 \)