Постройте график функции у = х²-7x-5|x-3|+12 и определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно три общие точки.

Рассмотрим функцию y = x² - 7x - 5|x - 3| + 12.

Раскроем модуль:

1) Если x ≥ 3, то |x - 3| = x - 3, и функция принимает вид:

\[y = x^2 - 7x - 5(x - 3) + 12 = x^2 - 7x - 5x + 15 + 12 = x^2 - 12x + 27\]

2) Если x < 3, то |x - 3| = -(x - 3) = 3 - x, и функция принимает вид:

\[y = x^2 - 7x - 5(3 - x) + 12 = x^2 - 7x - 15 + 5x + 12 = x^2 - 2x - 3\]

Таким образом, функция задана кусочно:

\[y = \begin{cases} x^2 - 12x + 27, & x \geq 3 \\ x^2 - 2x - 3, & x < 3 \end{cases}\]

Теперь построим график этой функции. Для этого найдем вершины парабол.

1) Для x ≥ 3: y = x² - 12x + 27

\[x_v = \frac{-(-12)}{2 \cdot 1} = 6\] \[y_v = 6^2 - 12 \cdot 6 + 27 = 36 - 72 + 27 = -9\]

Вершина первой параболы: (6, -9)

2) Для x < 3: y = x² - 2x - 3

\[x_v = \frac{-(-2)}{2 \cdot 1} = 1\] \[y_v = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4\]

Вершина второй параболы: (1, -4)

Нарисуем график функции.

Теперь определим, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Рассмотрим график. Горизонтальная прямая y = m имеет три точки пересечения с графиком, когда она проходит через точку соединения двух частей графика (x=3) или через вершину одной из парабол.

1) При x = 3: y = 3² - 2 \cdot 3 - 3 = 9 - 6 - 3 = 0

2) Вершина первой параболы: (6, -9), но она не подходит, так как x ≥ 3.

3) Вершина второй параболы: (1, -4), но она тоже не подходит, так как x < 3.

Вычислим значения функции в точке x=3

y(3) = 3^2 - 2*3 - 3 = 9 - 6 - 3 = 0

у(3) = 3^2 -12*3 + 27 = 9 - 36 + 27 = 0

Чтобы прямая y = m имела с графиком ровно три общие точки, она должна проходить через точку разрыва (3, 0) или через вершину одной из парабол.

Ветви параболы x^2 - 2x - 3 идут вверх и пересекают y = m в одной точке, когда m = -4.

Ветви параболы x^2 - 12x + 27 идут вверх и пересекают y = m в одной точке, когда m = -9.

По графику видно, что при m = -1.25 и m = 12, прямая y = m имеет ровно три точки пересечения.