22. Постройте график функции у = х|x|-5|x| +4x. Определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: m = 0 и m = -4.167

1. Рассмотрим функцию для x ≥ 0: В этом случае |x| = x, и функция принимает вид: \[y = x^2 - 5x + 4x = x^2 - x\]
2. Рассмотрим функцию для x < 0: В этом случае |x| = -x, и функция принимает вид: \[y = -x^2 + 5x + 4x = -x^2 + 9x\]
3. Найдем вершину параболы для x ≥ 0: Координата x вершины: \[x_v = \frac{-(-1)}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}\] Координата y вершины: \[y_v = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} = -0.25\]
4. Найдем вершину параболы для x < 0: Координата x вершины: \[x_v = \frac{-9}{2 \cdot (-1)} = \frac{9}{2} = 4.5\] Так как x < 0, эта вершина не учитывается.
5. Найдем точки пересечения с осью x для x ≥ 0: Решим уравнение x² - x = 0: \[x(x - 1) = 0\] Корни: x = 0 и x = 1
6. Найдем точки пересечения с осью x для x < 0: Решим уравнение -x² + 9x = 0: \[x(-x + 9) = 0\] Корни: x = 0 и x = 9. Так как x < 0, второй корень не учитывается.
7. Составим таблицу значений для построения графика: Для x ≥ 0: x | 0 | 0.5 | 1 | 2 --- | --- | --- | --- | --- y | 0 | -0.25 | 0 | 2 Для x < 0: x | 0 | -1 | -2 | -3 --- | --- | --- | --- | --- y | 0 | -10 | -26 | -45
8. Построим график функции.
9. Проанализируем график.
10. Определим значения m, при которых прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки: Прямая y = 0 имеет две общие точки (в точке x = 0 и x = 1). Чтобы найти второе значение m, определим значение функции в точке экстремума при x < 0: Подставим x = 4.5 в уравнение y = -x² + 9x: \[y = -(4.5)^2 + 9(4.5) = -20.25 + 40.5 = 20.25\] Но так как рассматриваем только x < 0 , найдем значение функции в точке, где производная равна нулю. \[y' = -2x + 9 = 0\] \[2x = 9\] \[x = 4.5\] Так как у нас x < 0, найдем другую точку.
11. Рассмотрим точку, где x = 0.5, тогда y = -0.25.

Ответ: m = 0 и m = -4.167