3. Точки M и N являются серединами сторон АВ и ВС треугольника АВС соответственно. Отрезки AN и СМ пересекаются в точке О, АN = 21, CM = 15. Найти ОМ. (Рис 3)

По условию, точки M и N - середины сторон AB и BC соответственно. Следовательно, AN и CM - медианы треугольника ABC. Известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, AO : ON = 2 : 1 и CO : OM = 2 : 1. Нам нужно найти OM. Зная, что CM = 15, можно записать: \begin{align*} CO + OM = 15 \\ \frac{OM}{CO} = \frac{1}{2} \implies CO = 2 \cdot OM \end{align*} Подставляем CO в первое уравнение: \begin{align*} 2 \cdot OM + OM = 15 \\ 3 \cdot OM = 15 \\ OM = \frac{15}{3} = 5 \end{align*} Итак, OM = 5.