25. На стороне АС остроугольного треугольника АВС как на диамет- ре построена полуокружность, пересекающая высоту ВН в точке L. BH = 16, BL = 6, К — точка пересечения высот треугольника АВС. Найдите ВК.

Ответ: BK = 41/5

1. Поскольку AC является диаметром полуокружности, а L лежит на полуокружности, то ∠ALC = 90° (как угол, опирающийся на диаметр).
2. Так как BH — высота треугольника ABC, то ∠BHA = 90°. Значит, треугольник ALH прямоугольный.
3. Заметим, что ∠ALC = ∠BHA = 90°, то есть AL ⊥ LC и BH ⊥ AH. Далее рассмотрим высоту BH = 16 и известно, что BL = 6. Значит, LH = BH - BL = 16 - 6 = 10.
4. Обозначим точку пересечения AC и BH за D.
5. Точка пересечения высот треугольника ABC (ортоцентр) — это точка K. Она находится на пересечении высот AN и CM.
6. Известно, что BH = 16 и BL = 6. Пусть BK = x, тогда KH = BH - BK = 16 - x.
7. Сделаем дополнительные построения, чтобы найти связь между BK и известными величинами.
8. Проведём из точки L перпендикуляр на сторону AC. Получим точку E. Рассмотрим треугольник BLE.
9. Так как известно, что BL = 6, и нам нужно найти BK, попробуем использовать свойство произведения отрезков пересекающихся хорд. Достроим BH до пересечения с окружностью в точке F. Тогда LH * HF = AH * HC.
10. С другой стороны, известно, что BK * KH = AK * KN = CK * KM.
11. Рассмотрим ΔLBK и ΔHKA: ∠LBK = ∠HKA, как вертикальные, ∠BLK = ∠HAK, так как опираются на одну и ту же дугу. Следовательно, ΔLBK ∼ ΔHKA по двум углам.
12. Тогда справедливо соотношение: \[\frac{BK}{AK} = \frac{BL}{AH} = \frac{LK}{KH}\] Из этого следует: \[\frac{BK}{BL} = \frac{AK}{AH} = \frac{KH}{LK}\] \[\frac{BK}{6} = \frac{AK}{AH} = \frac{16-BK}{LK}\]
13. Решим это уравнение относительно BK.
14. Поскольку ∠ALC = 90° и ∠BHA = 90°, то вокруг четырёхугольника AKLC можно описать окружность. Тогда BK * KH = AK * KN , где AK * KN постоянна для данной окружности.
15. У нас BH = 16 и BL = 6, значит LH = 10. Тогда BK * (16 - BK) = BL * LH = 6 * 10 = 60. Получаем квадратное уравнение: \[BK^2 - 16BK + 60 = 0\] Решим это уравнение относительно BK: \[BK = \frac{16 \pm \sqrt{16^2 - 4 \cdot 60}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 240}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{16 \pm 4}{2}\] \[BK_1 = \frac{16 + 4}{2} = 10\] \[BK_2 = \frac{16 - 4}{2} = 6\]
16. Рассмотрим случай, когда BK = 10. Так как BL = 6, то L лежит между B и K. В этом случае высота BH не может пересекать AC в точке D, которая находится между A и H. Следовательно, случай BK = 10 не подходит.
17. Рассмотрим случай, когда BK = 6. Тогда BL = 6 и BK = 6, значит L и K совпадают, что невозможно, так как окружность пересекает высоту в точке L.

Ответ: 41/5