Постройте график функции \(y = \frac{1}{9}|x^{3} - 9x| + \frac{1}{9}x^{3} + x\) и определите, при каких значениях k прямая y = kx имеет с этим графиком ровно две общих точки.

Разбираемся:

Пошаговое решение:

Рассмотрим функцию \(y = \frac{1}{9}|x^{3} - 9x| + \frac{1}{9}x^{3} + x\).

Если \(x^{3} - 9x \geq 0\), то \(y = \frac{1}{9}(x^{3} - 9x) + \frac{1}{9}x^{3} + x = \frac{2}{9}x^{3}\)

Если \(x^{3} - 9x < 0\), то \(y = \frac{1}{9}(-x^{3} + 9x) + \frac{1}{9}x^{3} + x = 2x\)

Найдем, когда \(x^{3} - 9x \geq 0\), \(x(x^{2} - 9) \geq 0\), \(x(x - 3)(x + 3) \geq 0\), то есть \(x \in [-3; 0] \cup [3; +\infty)\).

Таким образом, функция задается кусочно:

\( y = \begin{cases} \frac{2}{9}x^{3}, & x \in [-3; 0] \cup [3; +\infty) \\ 2x, & x \in (-\infty; -3) \cup (0; 3) \end{cases} \)

Построим график функции:

При k = 2 прямая y = kx совпадает с графиком при x \in (-3; 3). Чтобы было ровно две общих точки, прямая должна проходить через точку (-3; -6) или (3; 6).

В первом случае, -6 = k(-3), k = 2. Во втором случае, 6 = k(3), k = 2.

Также рассмотрим случай касания прямой y = kx к функции \(y = \frac{2}{9}x^{3}\).

Для этого найдем производную \(y' = \frac{2}{9} \cdot 3x^{2} = \frac{2}{3}x^{2}\). Приравняем производную к k:

\(\frac{2}{3}x^{2} = k\), \(x^{2} = \frac{3}{2}k\), \(x = \sqrt{\frac{3}{2}k}\)

Тогда \(y = kx\), \(\frac{2}{9}x^{3} = kx\), \(\frac{2}{9}x^{2} = k\). Значит, должно выполняться \(k > 0\) и \(\sqrt{\frac{3}{2}k} = \frac{3}{2}k\).

Значит, \(\frac{3}{2}k = k\), тогда либо k = 0, либо x = 0.

Ответ: k = 2