Полый металлический шарик массой 3 г подвешен на шёлковой нити длиной 50 см над положительно заряженной плоскостью, создающей однородное электрическое поле напряжённостью 2 · 10⁶ В/м. Электрический заряд шарика отрицателен и по модулю равен 6 · 10⁻⁸ Кл. Определите циклическую частоту свободных гармонических колебаний данного маятника.

Анализ задачи:

Это задача на колебания заряженного тела в электрическом поле. Шарик, подвешенный на нити, представляет собой математический маятник. Однако, наличие электрического поля будет влиять на период и частоту колебаний.

1. Силы, действующие на шарик:

• Сила тяжести ($$F_т = mg$$): направлена вертикально вниз.
• Электрическая сила ($$F_э = qE$$): направлена противоположно заряду, так как заряд отрицательный, а поле положительно заряженной плоскости, следовательно, $$F_э$$ направлена от плоскости, т.е. вверх (если плоскость под шариком).

• Сила натяжения нити ($$T$$): направлена вдоль нити.

2. Результирующая сила:

В однородном электрическом поле, действующем на заряженную частицу, результирующая сила ($$F_{рез}$$) будет отличаться от силы тяжести.

Если плоскость находится *над* шариком, и поле направлено вниз (от положительной плоскости), а заряд шарика отрицательный, то электрическая сила $$F_э$$ будет направлена *вверх*. В этом случае $$F_э$$ будет уменьшать эффективную силу тяжести.

Если плоскость находится *под* шариком, и поле направлено вверх (от положительной плоскости), а заряд шарика отрицательный, то электрическая сила $$F_э$$ будет направлена *вниз*. В этом случае $$F_э$$ будет увеличивать эффективную силу тяжести.

По условию: "над положительно заряженной плоскостью, создающей однородное электрическое поле напряженностью..."

Положительно заряженная плоскость создает поле, направленное от нее. Поскольку шарик находится *над* плоскостью, поле направлено *вверх*. Заряд шарика отрицательный. Следовательно, электрическая сила $$F_э$$ будет направлена *вниз*.

Таким образом, общая сила, действующая на шарик вниз, будет суммой силы тяжести и электрической силы: $$F_{общ} = F_т + F_э = mg + qE$$.

3. Период колебаний маятника:

Период колебаний математического маятника равен:

• $$T = 2 au rac{L}{g}$$

где $$L$$ — длина нити, $$g$$ — ускорение свободного падения.

В нашем случае, вместо $$g$$ будет действовать эффективное ускорение $$g_{эфф}$$, вызванное результирующей силой:

• $$F_{общ} = m imes g_{эфф}$$
• $$mg + qE = m imes g_{эфф}$$
• $$g_{эфф} = g + rac{qE}{m}$$

4. Циклическая частота:

Циклическая частота ($$ u$$) связана с периодом ($$T$$) как:

• $$ u = rac{2 au}{T}$$

Период колебаний математического маятника с учетом эффективного ускорения:

• $$T = 2 au rac{L}{g_{эфф}}$$

Следовательно, циклическая частота:

• $$ u = rac{2 au}{2 au rac{L}{g_{эфф}}} = rac{g_{эфф}}{L}$$

5. Расчет:

• $$m = 3$$ г = $$0.003$$ кг
• $$L = 50$$ см = $$0.5$$ м
• $$E = 2 imes 10^6$$ В/м
• $$q = 6 imes 10^{-8}$$ Кл (по модулю)
• $$g hickapprox 9.8$$ м/с² (возьмем 10 м/с² для простоты, если не указано иное)

Рассчитаем электрическую силу:

$$F_э = qE = (6 imes 10^{-8} ext{ Кл}) imes (2 imes 10^6 ext{ В/м}) = 12 imes 10^{-2} ext{ Н} = 0.12 ext{ Н}$$

Рассчитаем силу тяжести:

$$F_т = mg = 0.003 ext{ кг} imes 10 ext{ м/с}^2 = 0.03 ext{ Н}$$

Рассчитаем эффективное ускорение:

$$g_{эфф} = g + rac{qE}{m} = 10 ext{ м/с}^2 + rac{0.12 ext{ Н}}{0.003 ext{ кг}} = 10 ext{ м/с}^2 + 40 ext{ м/с}^2 = 50 ext{ м/с}^2$$

Рассчитаем циклическую частоту:

$$ u = rac{g_{эфф}}{L} = rac{50 ext{ м/с}^2}{0.5 ext{ м}} = 100$$ рад/с

Проверка:

Период колебаний: $$T = 2 au rac{L}{g_{эфф}} = 2 au rac{0.5}{50} = 2 au imes 0.01 = 0.02 au$$ с.

Циклическая частота: $$ u = rac{1}{T/2 au} = rac{1}{0.01} = 100$$ рад/с.

Окончательный ответ:

• Дано:
• $$m = 3$$ г = $$0.003$$ кг
• $$L = 50$$ см = $$0.5$$ м
• $$E = 2 imes 10^6$$ В/м
• $$q = 6 imes 10^{-8}$$ Кл
• $$g = 10$$ м/с² (приблизительно)

Решение:

1. Определяем направление электрической силы:
   Поле направлено от положительно заряженной плоскости, т.е. вверх. Заряд шарика отрицательный, поэтому электрическая сила направлена противоположно полю, т.е. вниз.
2. Рассчитываем общую силу, действующую на шарик (сумму силы тяжести и электрической силы):
   $$F_т = mg = 0.003 ext{ кг} imes 10 ext{ м/с}^2 = 0.03 ext{ Н}$$
   $$F_э = qE = (6 imes 10^{-8} ext{ Кл}) imes (2 imes 10^6 ext{ В/м}) = 0.12 ext{ Н}$$
   $$F_{общ} = F_т + F_э = 0.03 ext{ Н} + 0.12 ext{ Н} = 0.15 ext{ Н}$$
3. Находим эффективное ускорение, вызванное общей силой:
   $$g_{эфф} = rac{F_{общ}}{m} = rac{0.15 ext{ Н}}{0.003 ext{ кг}} = 50 ext{ м/с}^2$$
4. Рассчитываем циклическую частоту колебаний:
   $$ u = rac{g_{эфф}}{L} = rac{50 ext{ м/с}^2}{0.5 ext{ м}} = 100$$ рад/с

Ответ: 100 рад/с