Маленький шарик с зарядом q = 4 · 10⁻⁹ Кл и массой 0,3 г, подвешенный на невесомой нити с коэффициентом упругости 100 Н/м, находится между вертикальными пластинами плоского воздушного конденсатора. Расстояние между обкладками конденсатора 5 см. Какова разность потенциалов между обкладками конденсатора, если удлинение нити 0,05 мм?

Анализ задачи:

Эта задача из области электростатики. Нам нужно найти разность потенциалов между пластинами конденсатора, зная заряд шарика, его массу, коэффициент упругости нити, расстояние между пластинами и удлинение нити.

1. Силы, действующие на шарик:

• Сила тяжести ($$mg$$), направлена вертикально вниз.
• Сила упругости нити ($$F_{упр}$$), направлена вдоль нити.
• Электрическая сила ($$F_э$$), действующая со стороны конденсатора на заряженный шарик.

Шарик находится в равновесии, поэтому сумма сил, действующих на него, равна нулю.

2. Условие равновесия:

Векторная сумма сил равна нулю. Разложим силу упругости на горизонтальную и вертикальную составляющие. Из рисунка видно, что электрическая сила направлена горизонтально (между пластинами конденсатора).

Так как нить удлинилась, то угол отклонения от вертикали мал. Примем, что удлинение нити x происходит за счет электрической силы, а сила тяжести уравновешивается вертикальной составляющей силы упругости. Это упрощение, но часто применяется в подобных задачах при малых углах. В более строгом подходе нужно учесть, что сила упругости направлена вдоль нити, и в равновесии она уравновешивает сумму силы тяжести и электрической силы.

Рассмотрим силы в проекции на горизонтальную и вертикальную оси:

• Вертикальная ось: $$F_{упр} imes rac{L}{L+x} = mg$$ (где L - длина нити без удлинения)
• Горизонтальная ось: $$F_э = F_{упр} imes rac{x}{L+x}$$

Если удлинение нити мало по сравнению с ее длиной, то можно считать, что $$F_э$$ уравновешивает горизонтальную составляющую силы упругости, а $$mg$$ — вертикальную.

В данной задаче удлинение нити ($$x=0.05$$ мм) очень мало по сравнению с предполагаемой длиной нити. Также, удлинение нити вызвано как силой тяжести, так и электрической силой. Обычно в таких задачах нить отклоняется под действием электрической силы, и сила упругости уравновешивает обе силы. Но тут есть момент: указан коэффициент упругости нити. Это намекает на использование закона Гука.

Давайте предположим, что удлинение нити происходит под действием электрической силы, то есть:

• $$F_э = k imes x$$

где $$k$$ — коэффициент упругости нити (100 Н/м), $$x$$ — удлинение нити (0.05 мм).

3. Расчет электрической силы:

• $$q = 4 imes 10^{-9}$$ Кл
• $$m = 0.3$$ г = $$0.0003$$ кг
• $$k = 100$$ Н/м
• $$x = 0.05$$ мм = $$0.00005$$ м
• $$g hickapprox 9.8$$ м/с² (возьмем 10 м/с² для упрощения, если не указано иное)

Сначала рассчитаем электрическую силу, которая вызывает удлинение нити:

• $$F_э = k imes x = 100 ext{ Н/м} imes 0.00005 ext{ м} = 0.005 ext{ Н}$$

4. Связь электрической силы с напряженностью поля:

Электрическая сила, действующая на заряд в электрическом поле, равна:

• $$F_э = q imes E$$

где $$E$$ — напряженность электрического поля.

Из этого следует:

• $$E = rac{F_э}{q} = rac{0.005 ext{ Н}}{4 imes 10^{-9} ext{ Кл}} = rac{5 imes 10^{-3}}{4 imes 10^{-9}} = 1.25 imes 10^{6}$$ В/м

5. Связь напряженности с разностью потенциалов:

Для плоского конденсатора напряженность поля связана с разностью потенциалов ($$U$$) и расстоянием между обкладками ($$d$$) следующим образом:

• $$E = rac{U}{d}$$

Отсюда:

• $$U = E imes d$$

Расстояние между обкладками конденсатора $$d = 5$$ см = $$0.05$$ м.

• $$U = (1.25 imes 10^{6} ext{ В/м}) imes (0.05 ext{ м}) = 62500$$ В

Важное замечание: В задачах с подвешенным зарядом, который отклоняется в электрическом поле, сила упругости нити уравновешивает как силу тяжести, так и электрическую силу. Если в задаче указан коэффициент упругости и удлинение, это часто означает, что именно эта сила упругости, вызванная удлинением, является той силой, которая противодействует электрической силе (и силе тяжести). Однако, если предположить, что нить изначально находится в равновесии под действием силы тяжести, а затем включили электрическое поле, которое вызывает дополнительное удлинение, то решение будет сложнее.

Давайте перечитаем условие: "...находится между вертикальными пластинами... Расстояние между обкладками конденсатора 5 см. Какова разность потенциалов между обкладками конденсатора, если удлинение нити 0,05 мм?"

Это может означать, что удлинение нити *происходит* из-за электрической силы. Если бы нить была нерастяжима, то удлинения бы не было, а было бы просто отклонение. Использование коэффициента упругости подразумевает, что нить растяжима.

Альтернативный подход (учитывая силу тяжести):

Пусть $$L$$ - длина нити без удлинения. Тогда в равновесии, когда на шарик действует сила тяжести $$mg$$ и электрическая сила $$F_э$$, шарик отклоняется на угол $$ heta$$, и нить удлиняется до длины $$L+x$$. Сила упругости $$F_{упр} = k imes x$$ направлена вдоль нити. Условие равновесия:

• $$mg + F_э imes rac{ ext{horizontal component}}{ ext{total force}} = 0$$ (векторно)

Проще всего использовать проекции сил на оси.

Пусть $$T$$ - сила натяжения нити. $$T = kx$$.

Условие равновесия:

• $$T imes rac{x}{L+x} = F_э$$ (равенство горизонтальных сил, если угол мал)
• $$T imes rac{L}{L+x} = mg$$ (равенство вертикальных сил)

Если угол отклонения мал, то $$x hickapprox L imes heta$$.

А $$F_э hickapprox T imes heta$$ и $$mg hickapprox T$$.

В таком случае $$F_э hickapprox mg$$.

Однако, в задаче явно указан коэффициент упругости нити и удлинение. Это говорит о том, что силу упругости нужно учитывать как силу, которая уравновешивает электрическую силу.

Возвращаемся к первому подходу, который более вероятен для такого типа задач:

Сила, вызвавшая удлинение нити, — это электрическая сила.

$$F_{электрическая} = k imes ext{удлинение нити}$$

$$F_э = 100 ext{ Н/м} imes 0.05 imes 10^{-3} ext{ м} = 0.005 ext{ Н}$$.

Теперь найдем напряженность поля:

$$E = rac{F_э}{q} = rac{0.005 ext{ Н}}{4 imes 10^{-9} ext{ Кл}} = 1.25 imes 10^6 ext{ В/м}$$.

Разность потенциалов $$U$$ между пластинами конденсатора:

$$U = E imes d$$

$$U = 1.25 imes 10^6 ext{ В/м} imes 5 imes 10^{-2} ext{ м} = 62500 ext{ В}$$.

Перепроверим условие:

Шарик с зарядом $$q$$ и массой $$m$$ подвешен на нити. Он находится между пластинами конденсатора. Указан коэффициент упругости $$k$$. Указано удлинение нити $$x$$.

Это означает, что сила упругости $$F_{упр} = kx$$ действует вдоль нити.

Сила тяжести $$mg$$ действует вертикально вниз.

Электрическая сила $$F_э$$ действует горизонтально.

В состоянии равновесия:

• $$mg + T imes rac{L}{L+x} = 0$$ (вертикаль)
• $$F_э + T imes rac{x}{L+x} = 0$$ (горизонталь)

Где $$T$$ — сила натяжения нити, $$L$$ — длина нити без удлинения, $$x$$ — удлинение нити.

В данной задаче, насколько я понимаю, $$L+x$$ — это конечная длина нити. Коэффициент упругости $$k$$ дан, и удлинение $$x$$. Это означает, что сила упругости, действующая вдоль нити, равна $$T = kx$$.

Тогда:

• $$mg = T rac{L}{L+x} = kx rac{L}{L+x}$$
• $$F_э = T rac{x}{L+x} = kx rac{x}{L+x}$$

Из первого уравнения: $$mg = kx rac{L}{L+x}$$

Из второго уравнения: $$F_э = kx rac{x}{L+x}$$

Разделим второе на первое:

• $$rac{F_э}{mg} = rac{kx rac{x}{L+x}}{kx rac{L}{L+x}} = rac{x}{L}$$

Отсюда $$F_э = mg rac{x}{L}$$.

Но мы не знаем $$L$$. Это значит, что мой второй подход неверен, или в задаче есть недостающая информация, или есть более простое толкование.

Вернемся к самой простой интерпретации:

Удлинение нити *вызвано* электрической силой. То есть, электрическая сила действует как сила растяжения, дополнительно к силе тяжести, которая тоже растягивает нить. И эти две силы, если сложить их векторно, приведут к силе натяжения $$T$$, которая вызывает удлинение $$x$$.

Если принять, что удлинение нити $$x$$ происходит *только* под действием электрической силы, тогда $$F_э = kx$$. Это наиболее вероятный сценарий, если не даны другие данные (длина нити, угол отклонения).

Давайте еще раз посчитаем по этой логике:

• $$q = 4 imes 10^{-9}$$ Кл
• $$m = 0.3$$ г = $$0.0003$$ кг
• $$k = 100$$ Н/м
• $$x = 0.05$$ мм = $$5 imes 10^{-5}$$ м
• $$d = 5$$ см = $$5 imes 10^{-2}$$ м

1. Электрическая сила:

$$F_э = k imes x = 100 ext{ Н/м} imes 5 imes 10^{-5} ext{ м} = 5 imes 10^{-3} ext{ Н}$$

2. Напряженность электрического поля:

$$E = rac{F_э}{q} = rac{5 imes 10^{-3} ext{ Н}}{4 imes 10^{-9} ext{ Кл}} = 1.25 imes 10^6 ext{ В/м}$$

3. Разность потенциалов:

$$U = E imes d = 1.25 imes 10^6 ext{ В/м} imes 5 imes 10^{-2} ext{ м} = 62500 ext{ В}$$

Проверка масс:

Сила тяжести $$F_т = mg = 0.0003 ext{ кг} imes 9.8 ext{ м/с}^2 hickapprox 0.00294 ext{ Н}$$.

Электрическая сила $$F_э = 0.005 ext{ Н}$$.

Так как $$F_э > F_т$$, то электрическая сила является доминирующей силой, вызывающей удлинение. Если бы сила тяжести была основной, то обычно указывалось бы отклонение от вертикали, а не удлинение нити.

Вывод: Наиболее вероятный подход — считать, что удлинение нити вызвано непосредственно электрической силой, используя закон Гука.

Итоговый расчет:

1. Вычисляем силу упругости, которая вызывает удлинение нити:
   $$F_{упр} = k imes x$$
2. Приравниваем силу упругости к электрической силе:
   $$F_э = F_{упр}$$
3. Находим напряженность поля:
   $$E = rac{F_э}{q}$$
4. Находим разность потенциалов:
   $$U = E imes d$$

Дано:

• $$q = 4 imes 10^{-9}$$ Кл
• $$m = 0.3$$ г = $$3 imes 10^{-4}$$ кг
• $$k = 100$$ Н/м
• $$x = 0.05$$ мм = $$5 imes 10^{-5}$$ м
• $$d = 5$$ см = $$5 imes 10^{-2}$$ м

Решение:

1. Сила упругости (равная электрической силе):
   $$F_{электрическая} = F_{упругости} = k imes x = 100 ext{ Н/м} imes (5 imes 10^{-5} ext{ м}) = 5 imes 10^{-3} ext{ Н}$$
2. Напряженность электрического поля:
   $$E = rac{F_{электрическая}}{q} = rac{5 imes 10^{-3} ext{ Н}}{4 imes 10^{-9} ext{ Кл}} = 1.25 imes 10^6 ext{ В/м}$$
3. Разность потенциалов между пластинами конденсатора:
   $$U = E imes d = (1.25 imes 10^6 ext{ В/м}) imes (5 imes 10^{-2} ext{ м}) = 6.25 imes 10^4 ext{ В} = 62500 ext{ В}$$

Ответ: 62500 В