Батарея из четырёх конденсаторов электроёмкостью C₁ = 2C, C₂ = C, C₃ = 4C и C₄ = 2C подключена к источнику постоянного тока с ЭДС ε и внутренним сопротивлением r (см. рисунок). Определите энергию конденсатора C₁.

Анализ задачи:

Это задача на расчет энергии конденсатора в цепи постоянного тока. В цепи постоянного тока, после установления равновесия, через конденсаторы ток не течет, поэтому они ведут себя как разрывы цепи. Напряжение на конденсаторах будет определяться их соединением и ЭДС источника.

1. Схема соединения конденсаторов:

Из рисунка видно, что конденсаторы $$C_1$$ и $$C_3$$ соединены параллельно, а $$C_2$$ и $$C_4$$ соединены параллельно. Эти две параллельные группы соединены последовательно.

2. Расчет эквивалентной емкости:

Емкость параллельно соединенных конденсаторов:

• $$C_{параллельная} = C_a + C_b$$

Емкость последовательно соединенных конденсаторов:

• $$rac{1}{C_{последовательная}} = rac{1}{C_a} + rac{1}{C_b}$$

3. Напряжение на конденсаторах:

В цепи постоянного тока, после установления равновесия, конденсаторы заряжены, и ток через них не идет. Напряжение на конденсаторах будет определяться напряжением на соответствующих участках цепи. Если конденсаторы включены параллельно источнику, то напряжение на них равно ЭДС источника (минус падение напряжения на внутреннем сопротивлении, если оно есть).

В данной схеме конденсаторы соединены последовательно, и вся эта батарея подключена к источнику с ЭДС $$ au$$ и внутренним сопротивлением $$r$$.

Пусть $$U_1$$ и $$U_2$$ — напряжения на двух последовательно соединенных группах конденсаторов. Тогда $$U_1 + U_2 = au$$.

Общая емкость батареи конденсаторов:

• $$C_{13} = C_1 + C_3 = 2C + 4C = 6C$$
• $$C_{24} = C_2 + C_4 = C + 2C = 3C$$

Эти две группы соединены последовательно. Общая емкость $$C_{общ}$$:

• $$rac{1}{C_{общ}} = rac{1}{C_{13}} + rac{1}{C_{24}} = rac{1}{6C} + rac{1}{3C} = rac{1 + 2}{6C} = rac{3}{6C} = rac{1}{2C}$$
• $$C_{общ} = 2C$$

Полный заряд на батарее конденсаторов (если бы они были соединены последовательно): $$Q_{общ} = C_{общ} imes au = 2C au$$.

Однако, в схеме конденсаторы не просто последовательно соединены, а есть два параллельных блока, которые соединены последовательно.

Напряжение на первой параллельной группе (состоящей из $$C_1$$ и $$C_3$$) будет $$U_{13}$$, а на второй (состоящей из $$C_2$$ и $$C_4$$) — $$U_{24}$$.

$$U_{13} + U_{24} = au$$.

Заряды на последовательно соединенных участках равны: $$Q_{13} = Q_{24}$$.

$$Q_{13} = C_{13} imes U_{13} = 6C imes U_{13}$$

$$Q_{24} = C_{24} imes U_{24} = 3C imes U_{24}$$

Так как $$Q_{13} = Q_{24}$$, то $$6C imes U_{13} = 3C imes U_{24}$$, откуда $$2 U_{13} = U_{24}$$.

Подставляем в $$U_{13} + U_{24} = au$$:

$$U_{13} + 2 U_{13} = au ightarrow 3 U_{13} = au ightarrow U_{13} = rac{ au}{3}$$

$$U_{24} = 2 U_{13} = rac{2 au}{3}$$

4. Напряжение на конденсаторе $$C_1$$:

Конденсатор $$C_1$$ подключен параллельно к $$C_3$$. Напряжение на них одинаковое и равно напряжению на всей первой группе:

$$U_1 = U_{13} = rac{ au}{3}$$

5. Энергия конденсатора $$C_1$$:

Энергия конденсатора $$W$$ вычисляется по формуле:

• $$W = rac{1}{2} C V^2$$

Где $$C$$ — емкость конденсатора, $$V$$ — напряжение на нем.

Для конденсатора $$C_1$$:

• $$W_1 = rac{1}{2} C_1 U_1^2$$

Подставляем известные значения:

• $$C_1 = 2C$$
• $$U_1 = rac{ au}{3}$$

$$W_1 = rac{1}{2} (2C) (rac{ au}{3})^2 = C rac{ au^2}{9} = rac{C au^2}{9}$$

Итоговый ответ:

• Дано:
• $$C_1 = 2C$$
• $$C_2 = C$$
• $$C_3 = 4C$$
• $$C_4 = 2C$$
• Источник: ЭДС $$ au$$, внутреннее сопротивление $$r$$.

Решение:

1. Определяем эквивалентные емкости параллельных групп:
   $$C_{13} = C_1 + C_3 = 2C + 4C = 6C$$
   $$C_{24} = C_2 + C_4 = C + 2C = 3C$$
2. Находим напряжения на параллельных группах.
   Группы $$C_{13}$$ и $$C_{24}$$ соединены последовательно, поэтому заряд на них одинаков: $$Q_{13} = Q_{24}$$.
   $$Q = C imes U$$, следовательно, $$C_{13}U_{13} = C_{24}U_{24}$$.
   $$6C imes U_{13} = 3C imes U_{24} ightarrow 2U_{13} = U_{24}$$.
   Суммарное напряжение равно ЭДС источника (пренебрегаем внутренним сопротивлением, так как ток через конденсаторы не идет после установления равновесия, и падение напряжения на $$r$$ не влияет на напряжения на конденсаторах, если они подключены непосредственно к клеммам источника):
   $$U_{13} + U_{24} = au$$
   $$U_{13} + 2U_{13} = au ightarrow 3U_{13} = au ightarrow U_{13} = rac{ au}{3}$$
3. Находим напряжение на конденсаторе $$C_1$$:
   Конденсатор $$C_1$$ соединен параллельно с $$C_3$$, поэтому напряжение на нем равно напряжению на группе $$C_{13}$$.
   $$U_1 = U_{13} = rac{ au}{3}$$
4. Рассчитываем энергию конденсатора $$C_1$$:
   $$W_1 = rac{1}{2}C_1U_1^2$$
   $$W_1 = rac{1}{2}(2C)(rac{ au}{3})^2 = C rac{ au^2}{9} = rac{C au^2}{9}$$

Ответ: $$rac{C au^2}{9}$$