Решение задачи:

Площадь равностороннего треугольника ABC равна 48√3.

1. Вычислите радиус окружности, описанной около треугольника.

Площадь равностороннего треугольника выражается формулой: $$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$, где a - сторона треугольника.

Тогда $$48\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

$$a^2 = \frac{48\sqrt{3} * 4}{\sqrt{3}} = 48 * 4 = 192$$

$$a = \sqrt{192} = \sqrt{64 * 3} = 8\sqrt{3}$$

Радиус описанной окружности для равностороннего треугольника: $$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8$$

2. Вычислите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Радиус вписанной окружности для равностороннего треугольника: $$r = \frac{R}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

3. Чему равна длина меньшей дуги AB?

Меньшая дуга AB соответствует центральному углу, равному углу A треугольника, то есть 60°. Длина окружности равна $$2\pi R = 2\pi * 8 = 16\pi$$

Длина дуги AB равна: $$L = \frac{60}{360} * 2\pi R = \frac{1}{6} * 16\pi = \frac{8\pi}{3}$$

Ответ:

1. Радиус описанной окружности: 8

2. Радиус вписанной окружности: 4

3. Длина меньшей дуги AB: $$\frac{8\pi}{3}$$