Решение задачи:

Пусть BC = x (меньшее основание), тогда CD = x (большая боковая сторона).

Проведём высоту CE из вершины C к основанию AD. Получим прямоугольный треугольник CDE.

В прямоугольном треугольнике CDE угол ∠DCE = 90° - (180° - ∠BCD) = 90° - (180° - 120°) = 90° - 60° = 30°.

Тогда DE = CD * cos(60°) = x * (1/2) = x/2.

CE = CD * sin(60°) = x * (√3/2) = x√3/2.

Площадь трапеции ABCD равна:

$$S = \frac{BC + AD}{2} * CE$$

Выразим AD через BC и DE: AD = BC + DE = x + x/2 = (3x)/2.

Подставим известные значения в формулу площади:

$$90\sqrt{3} = \frac{x + \frac{3x}{2}}{2} * \frac{x\sqrt{3}}{2}$$

Упростим уравнение:

$$90\sqrt{3} = \frac{\frac{5x}{2}}{2} * \frac{x\sqrt{3}}{2}$$ $$90\sqrt{3} = \frac{5x^2\sqrt{3}}{8}$$

Разделим обе части на √3:

$$90 = \frac{5x^2}{8}$$

Умножим обе части на 8:

$$720 = 5x^2$$

Разделим обе части на 5:

$$144 = x^2$$

Извлечём квадратный корень:

$$x = 12$$ (так как длина не может быть отрицательной).

Итак, BC = 12 см.

Найдём длину большего основания AD: AD = (3x)/2 = (3 * 12)/2 = 36/2 = 18 см.

Ответ: Большее основание трапеции равно 18 см.