11) Площадь прямоугольного треугольника равна 200/3 углов равен 60. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

Ответ: 20

1. Обозначим:
• Площадь треугольника S = 200√3
• Один из углов α = 60°
• Катет, лежащий напротив угла α, a = ?
• Второй катет, прилежащий к углу α, b
2. Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле: \[S = \frac{1}{2}ab\]
3. Выразим катет b через катет a и угол α: \[tg \alpha = \frac{a}{b} \Rightarrow b = \frac{a}{tg \alpha}\]
4. Подставим выражение для b в формулу площади: \[S = \frac{1}{2}a \cdot \frac{a}{tg \alpha} = \frac{a^2}{2tg \alpha}\]
5. Выразим a^2: \[a^2 = 2S \cdot tg \alpha\]
6. Найдем a: \[a = \sqrt{2S \cdot tg \alpha}\]
7. Вычислим: \[a = \sqrt{2 \cdot 200\sqrt{3} \cdot tg 60^\circ} = \sqrt{400\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \sqrt{400 \cdot 3} = \sqrt{1200} = 20\sqrt{3}\]
8. Так как \(tg 60^\circ = \sqrt{3}\), то: \[ a = \sqrt{2 \cdot 200\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \sqrt{400 \cdot 3} = 20\sqrt{3}\]

Ответ: 20