Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды равна 60 см². Вычислить объём пирамиды, если её апофема равна 5 см.

1. Шаг 1: Найдем сторону основания пирамиды.

   Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:

   \[S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l\]

   Где \[P\] - периметр основания, \[l\] - апофема.

   Так как в основании квадрат, то \[P = 4a\], где \[a\] - сторона основания.

   Тогда:

   \[S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 4a \cdot l = 2al\]

   Подставляем известные значения:

   \[60 = 2 \cdot a \cdot 5\]

   \[60 = 10a\]

   \[a = 6\] см

2. Шаг 2: Найдем высоту пирамиды.

   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и половиной стороны основания. По теореме Пифагора:

   \[h^2 + (\frac{a}{2})^2 = l^2\]

   Где \[h\] - высота пирамиды, \[a\] - сторона основания, \[l\] - апофема.

   Подставляем известные значения:

   \[h^2 + (\frac{6}{2})^2 = 5^2\]

   \[h^2 + 3^2 = 25\]

   \[h^2 + 9 = 25\]

   \[h^2 = 16\]

   \[h = 4\] см

3. Шаг 3: Вычислим объём пирамиды.

   Объём пирамиды вычисляется по формуле:

   \[V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h\]

   Где \[S_{осн}\] - площадь основания, \[h\] - высота пирамиды.

   Площадь основания (квадрата) равна квадрату его стороны:

   \[S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36\] см²

   Подставляем известные значения:

   \[V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 4 = 12 \cdot 4 = 48\] см³

Ответ: 48 см³