13. Первый и второй насосы наполняют бассейн за 54 минуты, второй и третий – за 27 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят бассейн, работая вместе?

Обозначим время, за которое первый, второй и третий насосы заполняют бассейн, как $$t_1$$, $$t_2$$ и $$t_3$$ соответственно. Тогда: Первый и второй насосы вместе заполняют бассейн за 54 минуты, значит их совместная производительность равна $$\frac{1}{54}$$ бассейна в минуту. Второй и третий насосы вместе заполняют бассейн за 27 минут, значит их совместная производительность равна $$\frac{1}{27}$$ бассейна в минуту. Найдем совместную производительность всех трех насосов. Обозначим $$V$$ - объем бассейна. Пусть $$x_1 = \frac{V}{t_1}$$, $$x_2 = \frac{V}{t_2}$$ и $$x_3 = \frac{V}{t_3}$$ - производительности первого, второго и третьего насосов соответственно. Тогда: $$\begin{cases} x_1 + x_2 = \frac{1}{54} \\ x_2 + x_3 = \frac{1}{27} \end{cases}$$ Сложим эти два уравнения: $$x_1 + 2x_2 + x_3 = \frac{1}{54} + \frac{1}{27} = \frac{1}{54} + \frac{2}{54} = \frac{3}{54} = \frac{1}{18}$$ Также, чтобы найти совместное время работы трех насосов, нужно найти их совместную производительность. Используем, что первый, второй и третий насосы, работая вместе, заполняют бассейн за время $$t$$. Тогда $$x_1 + x_2 + x_3 = \frac{1}{t}$$. Умножим первое уравнение на 2: $$2x_1 + 2x_2 = \frac{2}{54} = \frac{1}{27}$$. Выразим $$x_2$$ из первого уравнения: $$x_2 = \frac{1}{54} - x_1$$. Подставим во второе: $$\frac{1}{54} - x_1 + x_3 = \frac{1}{27}$$, откуда $$x_3 - x_1 = \frac{1}{27} - \frac{1}{54} = \frac{1}{54}$$, значит $$x_3 = x_1 + \frac{1}{54}$$. Выразим $$x_1 + x_2 + x_3$$. $$x_1 + x_2 + x_3 = x_1 + (\frac{1}{54} - x_1) + (x_1 + \frac{1}{54}) = x_1 + \frac{2}{54} = x_1 + \frac{1}{27}$$. Но $$x_1 + x_2 = \frac{1}{54}$$, значит $$x_1 = \frac{1}{54} - x_2$$. Найдем $$x_1 + x_2 + x_3 = (x_1 + x_2) + (x_2 + x_3) - x_2 = \frac{1}{54} + \frac{1}{27} - x_2$$. Выразим $$x_2$$ из уравнения $$x_2 + x_3 = \frac{1}{27}$$, тогда $$x_2 = \frac{1}{27} - x_3$$. $$x_1 + x_2 + x_3 = (x_1 + x_2) + x_3 = \frac{1}{54} + x_3$$. $$x_1 + x_2 + x_3 = x_1 + (x_2 + x_3) = x_1 + \frac{1}{27}$$. $$x_1 + x_2 + x_3 = (x_1 + x_2 + x_3) = \frac{\frac{1}{54} + \frac{1}{27}}{2} = \frac{\frac{1}{18}}{2} = \frac{1}{36}$$ Значит, все три насоса, работая вместе, заполнят бассейн за 36 минут. Ответ: 36 минут.