4 Параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ является кубом со стороной, равной 4 см. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через диагональ $$AC$$ и точку $$K$$, где $$K$$ - середина $$A_1B_1$$, и найдите площадь сечения.

Поскольку $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ - куб со стороной 4 см, сечение, проходящее через диагональ $$AC$$ и точку $$K$$, будет представлять собой трапецию $$ACKL$$, где $$L$$ - середина $$CD$$ ($$L$$ принадлежит $$C_1D_1$$).

Основания трапеции $$AC$$ и $$KL$$. $$AC$$ является диагональю квадрата $$ABCD$$ со стороной 4 см, поэтому $$AC = 4\sqrt{2}$$.

$$KL = \sqrt{KC^2 + CL^2}$$, $$KC = \sqrt{(4/2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $$S = \frac{AC + KL}{2} cdot h$$, где $$h$$ — высота трапеции.

Высота трапеции является стороной куба, равной 4.

Площадь трапеции: $$S = \frac{AC + KL}{2} \cdot 4$$.

$$S = \frac{4\sqrt{2} + 4\sqrt{2}}{2} \cdot 4 = 6\sqrt{5}$$

Ответ: 2) $$6\sqrt{5}$$ см²