Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам. Докажите, что АС параллельна BD и AD параллельна ВС.

Доказательство:

• Дано: Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, и точка O делит каждый из отрезков пополам.
• Требуется доказать: AC || BD и AD || BC.
• Рассмотрим треугольники AOC и BOD.
• AO = OB (по условию, O — середина AB).
• CO = OD (по условию, O — середина CD).
• Угол AOC = углу BOD (вертикальные углы).
• Следовательно, треугольники AOC и BOD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
• Из равенства треугольников следует, что угол CAO = углу DBO и угол ACO = углу BDO.
• Так как углы CAO и DBO являются накрест лежащими углами при прямых AC и BD и секущей AB, то AC || BD (по признаку параллельности прямых).
• Рассмотрим треугольники AOD и BOC.
• AO = OB (по условию, O — середина AB).
• CO = OD (по условию, O — середина CD).
• Угол AOD = углу BOC (вертикальные углы).
• Следовательно, треугольники AOD и BOC равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
• Из равенства треугольников следует, что угол DAO = углу BCO и угол ADO = углу CBO.
• Так как углы DAO и BCO являются накрест лежащими углами при прямых AD и BC и секущей AC, то AD || BC (по признаку параллельности прямых).