Острый угол прямоугольного треугольника равен 30°, а гипотенуза равна 8. Найдите отрезки, на которые делит гипотенузу высота, проведенная из вершины прямого угла.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: В прямоугольном треугольнике ABC (\(\angle C = 90^{\circ}\)), где \(\angle A = 30^{\circ}\), гипотенуза AB = 8. Тогда \(\angle B = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}\).
2. Шаг 2: Высота CD проведена из вершины прямого угла C к гипотенузе AB.
3. Шаг 3: Рассмотрим треугольник ADC. Угол \(\angle ACD = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}\).
4. Шаг 4: Рассмотрим треугольник BDC. Угол \(\angle BCD = 90^{\circ} - \angle B = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}\).
5. Шаг 5: Найдем катет BC, лежащий против угла в 30° в треугольнике ABC: \[BC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4\]
6. Шаг 6: Теперь найдем катет AC по теореме Пифагора: \[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\]
7. Шаг 7: Площадь треугольника ABC можно найти двумя способами: \[S = \frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} AB \cdot CD\]
8. Шаг 8: Выразим CD: \[CD = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{4\sqrt{3} \cdot 4}{8} = 2\sqrt{3}\]
9. Шаг 9: Рассмотрим треугольник BDC. Найдем BD по теореме Пифагора: \[BD = \sqrt{BC^2 - CD^2} = \sqrt{4^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 - 12} = \sqrt{4} = 2\]
10. Шаг 10: Найдем AD: \[AD = AB - BD = 8 - 2 = 6\]