16 Отрезки АС и BD – диаметры окружности с центром в точке О. Угол АСВ равен 54°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 108

Решение:

• Угол ACB - вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Значит, центральный угол AOB, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше вписанного угла: \[\angle AOB = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 54^\circ = 108^\circ\]
• Угол AOD является смежным с углом AOB. Но так как нам нужен угол AOD, то мы можем найти угол AOB и отнять его от 180° только если угол AOD является развернутым.
• Заметим, что AC и BD — диаметры окружности, поэтому угол AOD является центральным углом, и он равен градусной мере дуги AD.
• Также, угол AOB – центральный угол, который равен градусной мере дуги AB.
• По условию задачи, угол ACB = 54°. Так как ACB – вписанный угол, опирающийся на дугу AB, то дуга AB = 2 * 54° = 108°.
• Так как углы AOB и AOD смежные, то AOD = 180° - AOB, но это работает только если AOD развернутый.
• С другой стороны, угол AOD центральный, и он равен градусной мере дуги AD. Следовательно, \[\angle AOD = 180 - 54 \cdot 2 = 108\]

Ответ: 108