Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а боковая сторона — 13 см. Найдите синус, косинус, тангенс и котангенс угла между боковой стороной треугольника и высотой, проведённой к его основанию.

Дано:

\( \triangle ABC \) — равнобедренный, \( AC = 10 \) см (основание), \( AB = BC = 13 \) см (боковые стороны).

\( BH \) — высота, проведенная к основанию \( AC \). \( H \) — середина \( AC \).

Найти:

\( \sin(\angle ABH) \), \( \cos(\angle ABH) \), \( tg(\angle ABH) \), \( ctg(\angle ABH) \).

Решение:

1. Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный, высота \( BH \) является также медианой. Поэтому \( AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) см.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ABH \) (\( \angle AHB = 90^{\circ} \)). Найдем высоту \( BH \) по теореме Пифагора: \( BH^2 = AB^2 - AH^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 \). \( BH = \sqrt{144} = 12 \) см.
3. Теперь найдем тригонометрические функции угла \( \angle ABH \) в прямоугольном треугольнике \( \triangle ABH \):
   • \( \sin(\angle ABH) = \frac{AH}{AB} = \frac{5}{13} \)
   • \( \cos(\angle ABH) = \frac{BH}{AB} = \frac{12}{13} \)
   • \( tg(\angle ABH) = \frac{AH}{BH} = \frac{5}{12} \)
   • \( ctg(\angle ABH) = \frac{BH}{AH} = \frac{12}{5} \)

Ответ: \( \sin(\angle ABH) = \frac{5}{13} \), \( \cos(\angle ABH) = \frac{12}{13} \), \( tg(\angle ABH) = \frac{5}{12} \), \( ctg(\angle ABH) = \frac{12}{5} \).