24. Окружности с центрами в точках О и Т не имеют общих точек и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении k : n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как k : n.

Доказательство:

• Обозначим центры окружностей как O и T, а точки касания внутренней общей касательной с окружностями как A и B соответственно. Пусть эта касательная пересекает отрезок OT в точке P.
• По условию, OP : PT = k : n.
• Рассмотрим треугольники OAP и TBP. Углы OAP и TBP прямые, так как касательная перпендикулярна радиусу в точке касания. Углы OPA и TPB равны как вертикальные.
• Следовательно, треугольники OAP и TBP подобны по двум углам.
• Из подобия треугольников следует, что OA/TB = OP/PT = k/n, где OA и TB — радиусы окружностей.
• Тогда диаметры окружностей относятся как 2*OA / 2*TB = OA/TB = k/n.

Что и требовалось доказать.