Окружности с центрами в точках $A$ и $B$ пересекаются в точках $C$ и $D$, причём точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от прямой $CD$. Докажите, что прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны.

Question

Окружности с центрами в точках $A$ и $B$ пересекаются в точках $C$ и $D$, причём точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от прямой $CD$. Докажите, что прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны.

$Фото задания: Окружности с центрами в точках $A$ и $B$ пересекаются в точках $C$ и $D$, причём точки $A$ и $B$ лежат по одну…$ Фото задания

Accepted Answer

Поскольку $C$ и $D$ — точки пересечения окружности с центром $A$, то $AC=AD$. Аналогично, для окружности с центром $B$: $BC=BD$.

Следовательно, точки $A$ и $B$ равноудалены от точек $C$ и $D$, то есть обе лежат на серединном перпендикуляре к отрезку $CD$. Поэтому прямая $AB$ и есть серединный перпендикуляр к $CD$.

Следовательно, $AB\perp CD$.

Ответ: