около беседки....

Применим Протокол А (орфография).

1. Определим орфограмму: безударная гласная в окончании слова.
2. Сформулируем правило: чтобы правильно написать безударное окончание существительного, необходимо определить склонение и падеж существительного.
3. Разберем слово:

1.  около беседки...
2.  беседка (она моя) - 1 склонение
3.  около (чего?) беседки - Родительный падеж
4.  В Родительном падеже существительные 1 склонения имеют окончание -И.

Вывод: в слове "беседки..." пишется окончание "и".

Ответ: около беседкии...