8. *** Одна сторона треугольника в 2 раза больше другой, а угол между ними равен 60°. Найдите меньший из углов треугольника.

Решение:

Пусть одна сторона треугольника равна a, тогда другая сторона равна 2a. Угол между ними равен 60°.

По теореме косинусов найдем третью сторону c:

\[c^2 = a^2 + (2a)^2 - 2 \cdot a \cdot 2a \cdot \cos{60°}\] \[c^2 = a^2 + 4a^2 - 4a^2 \cdot \frac{1}{2}\] \[c^2 = 5a^2 - 2a^2\] \[c^2 = 3a^2\] \[c = a\sqrt{3}\]

Теперь у нас есть три стороны треугольника: a, 2a и a√3.

По теореме синусов найдем меньший угол (угол напротив меньшей стороны a):

\[\frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{2a}{\sin{\beta}} = \frac{a\sqrt{3}}{\sin{60°}}\] \[\frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{a\sqrt{3}}{\sin{60°}}\] \[\sin{\alpha} = \frac{a \cdot \sin{60°}}{a\sqrt{3}}\] \[\sin{\alpha} = \frac{\sin{60°}}{\sqrt{3}}\] \[\sin{\alpha} = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}}\] \[\sin{\alpha} = \frac{1}{2}\] \[\alpha = 30°\]

Меньший угол треугольника равен 30°.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что найденный угол меньше 60°, и стороны соответствуют условию задачи.

Доп. профит: Помни, что теоремы синусов и косинусов — мощные инструменты для решения задач с треугольниками.