Одна сторона треугольника на 10 см меньше другой, а угол между ними равен 60°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 14 см.

Пусть одна сторона равна $$x$$ см, тогда другая сторона равна $$(x + 10)$$ см. Угол между ними равен $$\gamma = 60^\circ$$, а третья сторона равна $$c = 14$$ см.

По теореме косинусов: $$c^2 = x^2 + (x+10)^2 - 2x(x+10)\cos{60^\circ}$$.

Подставим известные значения: $$14^2 = x^2 + (x+10)^2 - 2x(x+10) \cdot \frac{1}{2}$$.

$$196 = x^2 + x^2 + 20x + 100 - x^2 - 10x$$

$$x^2 + 10x - 96 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 100 + 384 = 484 = 22^2$$.

Корни уравнения: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 + 22}{2} = 6$$, $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 - 22}{2} = -16$$.

Так как длина стороны не может быть отрицательной, то $$x = 6$$ см. Тогда вторая сторона равна $$x + 10 = 6 + 10 = 16$$ см.

Периметр треугольника равен сумме всех сторон: $$P = 6 + 16 + 14 = 36$$ см.

Ответ: Периметр треугольника равен 36 см.