Две стороны треугольника равны 6 см и 4√2 см, а угол между ними - 135°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

Пусть даны стороны $$a = 6$$ см и $$b = 4\sqrt{2}$$ см, угол между ними $$\gamma = 135^\circ$$.

Третью сторону $$c$$ найдем по теореме косинусов: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos{\gamma}$$.

Подставим известные значения: $$c^2 = 6^2 + (4\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4\sqrt{2} \cos{135^\circ} = 36 + 32 - 48\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 68 + 48 = 116$$.

Тогда $$c = \sqrt{116} = 2\sqrt{29}$$ см.

Площадь треугольника можно найти по формуле: $$S = \frac{1}{2} ab \sin{\gamma}$$.

Подставим известные значения: $$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4\sqrt{2} \sin{135^\circ} = 12\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 12$$ см².

Ответ: Третья сторона равна $$2\sqrt{29}$$ см, площадь равна 12 см².