17. Одна окружность описана около равностороннего треугольника, а другая вписана в него. Докажите, что центры этих окружностей совпадают. 18. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон в точках А₁, В₁, С₁ (рис. 109). Докажите, что АС₁= (АВ + АС - ВС) / 2

• В равностороннем треугольнике все медианы, биссектрисы и высоты совпадают.
• Центр описанной окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а центр вписанной окружности — в точке пересечения биссектрис.
• Так как в равностороннем треугольнике медианы являются и биссектрисами, и высотами, то центры обеих окружностей совпадают в одной точке.

• Пусть АС₁ = x, BA₁ = y, CB₁ = z.
• Тогда AB = x + y, BC = z + y, AC = x + z.
• Выразим x через стороны треугольника:

\[ x + y = AB \Rightarrow y = AB - x \] \[ z + y = BC \Rightarrow z = BC - y = BC - (AB - x) = BC - AB + x \] \[ x + z = AC \Rightarrow x + BC - AB + x = AC \] \[ 2x = AC + AB - BC \] \[ x = \frac{AB + AC - BC}{2} \]

• Следовательно, AC₁ = (AB + AC - BC) / 2.

Ответ: доказано.