02 Одна из двух данных последовательностей является арифметической прогрессией, другая геометрической прогрессией: (xₙ): 12; 8; 4; ...; (yₙ): -32; -16; -8; ....

Последовательность $$(x_n): 12; 8; 4; ...;$$ является геометрической прогрессией, так как каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число. Знаменатель этой прогрессии равен:

$$q = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$$.

Последовательность $$(y_n): -32; -16; -8; ...;$$ является геометрической прогрессией, так как каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число. Знаменатель этой прогрессии равен:

$$q = \frac{-16}{-32} = \frac{1}{2}$$.

а) Продолжим каждую из этих прогрессий, записав следующие три её члена.

Для первой прогрессии:

$$x_4 = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$$.

$$x_5 = \frac{8}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{16}{9}$$.

$$x_6 = \frac{16}{9} \cdot \frac{2}{3} = \frac{32}{27}$$.

Для второй прогрессии:

$$y_4 = -8 \cdot \frac{1}{2} = -4$$.

$$y_5 = -4 \cdot \frac{1}{2} = -2$$.

$$y_6 = -2 \cdot \frac{1}{2} = -1$$.

б) Найдем 12-й член геометрической прогрессии.

$$y_{12} = y_1 \cdot q^{11} = -32 \cdot (\frac{1}{2})^{11} = -32 \cdot \frac{1}{2048} = -\frac{1}{64}$$.

Ответ: а) $$\frac{8}{3}$$, $$\frac{16}{9}$$, $$\frac{32}{27}$$ и $$-4$$, $$-2$$, $$-1$$; б) $$-\frac{1}{64}$$.