5. Объем пузырька газа, всплывающего на поверхность со дна озера, увеличился в 2 раза. Определить глубину озера. Температура воздуха на поверхности озера 27 °С, а на его дне 17 °С. Атмосферное давление нормальное.

Запишем дано:

$$V_2 = 2V_1$$

$$T_2 = 27 ^{\circ}C = 300 K$$

$$T_1 = 17^{\circ}C = 290 K$$

$$p_0 = 101325 Па$$

Нужно найти глубину озера - $$h$$.

Решение:

Давление на дне озера состоит из атмосферного давления и гидростатического давления столба воды:

$$p_1 = p_0 + \rho gh$$

где

$$\rho$$ - плотность воды (примерно 1000 кг/м³),

$$g$$ - ускорение свободного падения (9,81 м/с²),

$$h$$ - глубина озера.

Так как количество вещества газа в пузырьке не меняется, можно использовать объединенный газовый закон:

$$\frac{p_1V_1}{T_1} = \frac{p_2V_2}{T_2}$$

На поверхности озера давление равно атмосферному: $$p_2 = p_0$$.

Подставим $$p_1$$ и $$V_2$$:

$$\frac{(p_0 + \rho gh)V_1}{T_1} = \frac{p_0(2V_1)}{T_2}$$

Сократим $$V_1$$:

$$\frac{p_0 + \rho gh}{T_1} = \frac{2p_0}{T_2}$$

Выразим $$p_0 + \rho gh$$:

$$p_0 + \rho gh = \frac{2p_0T_1}{T_2}$$

Выразим $$\rho gh$$:

$$\rho gh = \frac{2p_0T_1}{T_2} - p_0$$

Выразим глубину $$h$$:

$$h = \frac{1}{\rho g}(\frac{2p_0T_1}{T_2} - p_0) = \frac{p_0}{\rho g}(\frac{2T_1}{T_2} - 1)$$

Подставим значения:

$$h = \frac{101325}{1000 \cdot 9.81}(\frac{2 \cdot 290}{300} - 1) = \frac{101325}{9810}(\frac{580}{300} - 1) = \frac{101325}{9810}(\frac{280}{300}) \approx 9.66 \text{ м}$$

Ответ: Глубина озера примерно 9.66 м.