Объем конуса равен 625. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1: 4, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объем конуса, отсекаемого от данного конуса проведенной плоскостью.

Решение:

Объем конуса вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \).

Пусть \( V_1 \) — объем исходного конуса, \( h_1 \) — его высота. Пусть \( V_2 \) — объем отсеченного конуса, \( h_2 \) — его высота.

По условию, точка делит высоту в отношении 1: 4, считая от вершины. Это означает, что высота отсеченного конуса \( h_2 \) составляет 1 часть, а высота оставшейся части (усеченного конуса) — 4 части. Следовательно, полная высота \( h_1 = 1 + 4 = 5 \) частей.

Высота отсеченного конуса \( h_2 = \frac{1}{5} h_1 \).

Объем отсеченного конуса \( V_2 \) относится к объему исходного конуса \( V_1 \) как куб отношения их высот:

\( \frac{V_2}{V_1} = \big( \frac{h_2}{h_1} \big)^3 \)

\( \frac{V_2}{V_1} = \big( \frac{1}{5} \big)^3 = \frac{1}{125} \)

Известно, что \( V_1 = 625 \).

Найдем объем отсеченного конуса \( V_2 \):

\( V_2 = V_1 \times \frac{1}{125} = 625 \times \frac{1}{125} = 5 \).

Ответ: 5.