6) Найти: СА1. A 20 см D 150° C Al B Рис. 9

Ответ: \(CA_1 = 20\sqrt{3}\) см

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACA1. Угол C = 90°, угол ACA1 = 30°, следовательно, угол A = 60°.

Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

\[\sin{30°} = \frac{AA_1}{AC}\]

\[\sin{60°} = \frac{CA_1}{AC}\]

\[\frac{CA_1}{AC} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[CA_1 = AC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\]

По теореме Пифагора:

\[AC^2 = AA_1^2 + CA_1^2\]

\[(20)^2 = AA_1^2 + CA_1^2\]

\[400 = AA_1^2 + CA_1^2\]

Мы знаем, что CA1 лежит против угла 60°, значит AA1 лежит против угла 30°.

\[CA_1 = AA_1\sqrt{3}\]

\[(AA_1\sqrt{3})^2 + AA_1^2 = 400\]

\[3AA_1^2 + AA_1^2 = 400\]

\[4AA_1^2 = 400\]

\[AA_1^2 = 100\]

\[AA_1 = 10\]

\[CA_1 = 10\sqrt{3}\]

\[\cos{30°} = \frac{CA_1}{AC}\]

\[CA_1 = AC \cdot \cos{30°} = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\]

\[AA_1 = 20\cdot\sin{30°} = 20\cdot\frac{1}{2} = 10\]

Ответ: \(CA_1 = 20\sqrt{3}\) см