5. Найти первый член и сумму четырех первых членов геометрической прогрессии (bn), если b2 = 16 и b₄ = 144.

Решение:

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Находим знаменатель геометрической прогрессии (q), используя формулу: \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \)
  У нас есть b₂ и b₄, поэтому: \( b_4 = b_2 \cdot q^{4-2} \)
  \( 144 = 16 \cdot q^2 \)
  \( q^2 = \frac{144}{16} = 9 \)
  \( q = \pm 3 \)
• Шаг 2: Находим первый член геометрической прогрессии (b₁): \( b_2 = b_1 \cdot q \)
  \( 16 = b_1 \cdot (\pm 3) \)
  \( b_1 = \frac{16}{\pm 3} = \pm \frac{16}{3} \)
• Шаг 3: Находим сумму четырех первых членов геометрической прогрессии (S₄):
  • Случай 1: Если \( q = 3 \) и \( b_1 = \frac{16}{3} \): \( S_4 = \frac{b_1(1 - q^4)}{1 - q} = \frac{\frac{16}{3}(1 - 3^4)}{1 - 3} = \frac{\frac{16}{3}(1 - 81)}{-2} = \frac{\frac{16}{3}(-80)}{-2} = \frac{-\frac{1280}{3}}{-2} = \frac{1280}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{640}{3} \)
  • Случай 2: Если \( q = -3 \) и \( b_1 = -\frac{16}{3} \): \( S_4 = \frac{b_1(1 - q^4)}{1 - q} = \frac{-\frac{16}{3}(1 - (-3)^4)}{1 - (-3)} = \frac{-\frac{16}{3}(1 - 81)}{4} = \frac{-\frac{16}{3}(-80)}{4} = \frac{\frac{1280}{3}}{4} = \frac{1280}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{320}{3} \)

Ответ: первый член равен \( \pm \frac{16}{3} \), сумма четырех первых членов равна \( \frac{640}{3} \) или \( \frac{320}{3} \)