Найти первый член и сумму 12 первых членов арифметической прогрессии (аₙ), если a₃ = -18 и a₇ = 6.

Решение:

1. Шаг 1: Найдем разность арифметической прогрессии (d). Используем формулу:

   \[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]

   Для a₃ и a₇ имеем:

   \[ a_3 = a_1 + 2d = -18 \]

   \[ a_7 = a_1 + 6d = 6 \]

   Вычтем первое уравнение из второго:

   \[ (a_1 + 6d) - (a_1 + 2d) = 6 - (-18) \]

   \[ 4d = 24 \]

   \[ d = 6 \]

2. Шаг 2: Найдем первый член арифметической прогрессии (a₁). Используем a₃:

   \[ a_3 = a_1 + 2d = -18 \]

   \[ a_1 + 2(6) = -18 \]

   \[ a_1 = -18 - 12 = -30 \]

3. Шаг 3: Найдем сумму 12 первых членов (S₁₂). Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии:

   \[ S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n \]

   Для S₁₂:

   \[ S_{12} = \frac{2(-30) + (12 - 1)(6)}{2} \cdot 12 \]

   \[ S_{12} = \frac{-60 + 11(6)}{2} \cdot 12 \]

   \[ S_{12} = \frac{-60 + 66}{2} \cdot 12 \]

   \[ S_{12} = \frac{6}{2} \cdot 12 \]

   \[ S_{12} = 3 \cdot 12 = 36 \]

Ответ: Первый член арифметической прогрессии равен -30, а сумма 12 первых членов равна 36.