Область определения функции

1) $$y = 3(x-1)^{-3} = \frac{3}{(x-1)^3}$$

Функция определена, когда знаменатель не равен нулю:

$$(x-1)^3
eq 0$$

$$x-1
eq 0$$

$$x
eq 1$$

Ответ: $$\mathbb{R} \setminus \{1\}$$, то есть все действительные числа, кроме 1.

2) $$y = \sqrt[4]{x^2 - 3x - 4}$$

Функция определена, когда подкоренное выражение неотрицательно:

$$x^2 - 3x - 4 \geq 0$$

Решим квадратное уравнение $$x^2 - 3x - 4 = 0$$:

$$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$

$$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3+5}{2} = 4$$

$$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3-5}{2} = -1$$

Теперь рассмотрим неравенство $$x^2 - 3x - 4 \geq 0$$. Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, парабола направлена вверх. Значит, решением неравенства будут интервалы вне корней:

$$x \leq -1$$ или $$x \geq 4$$

Ответ: $$(-\infty; -1] \cup [4; +\infty)$$.