Найдите значение выражения \( \frac{3a^7 \cdot a^{-5}}{a^3} \) при \( a = 27 \).

Решение:

1. Упростим выражение, используя свойства степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).
2. Числитель: \( 3a^7 \cdot a^{-5} = 3a^{7 + (-5)} = 3a^{7-5} = 3a^2 \).
3. Теперь разделим на знаменатель: \( \frac{3a^2}{a^3} = 3a^{2-3} = 3a^{-1} = \frac{3}{a} \).
4. Подставим значение \( a = 27 \) в упрощённое выражение: \( \frac{3}{27} \).
5. Сократим дробь: \( \frac{3}{27} = \frac{1}{9} \).

Ответ: \( \frac{1}{9} \).