4. Найдите значение числового выражения: $$\sqrt[3]{2^3 \cdot 7^2} \cdot \sqrt[6]{2^{12} \cdot 7^3}$$.

Чтобы найти значение числового выражения, преобразуем его:

$$\sqrt[3]{2^3 \cdot 7^2} \cdot \sqrt[6]{2^{12} \cdot 7^3} = (2^3 \cdot 7^2)^{\frac{1}{3}} \cdot (2^{12} \cdot 7^3)^{\frac{1}{6}} = 2 \cdot 7^{\frac{2}{3}} \cdot 2^2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} = 2^3 \cdot 7^{\frac{2}{3} + \frac{1}{2}} = 8 \cdot 7^{\frac{4}{6} + \frac{3}{6}} = 8 \cdot 7^{\frac{7}{6}} = 8 \cdot 7 \cdot 7^{\frac{1}{6}} = 56 \sqrt[6]{7}$$

Ни один из предложенных ответов не подходит.

$$\sqrt[3]{2^3 \cdot 7^2} \cdot \sqrt[6]{2^{12} \cdot 7^3} = \sqrt[6]{(2^3 \cdot 7^2)^2 \cdot 2^{12} \cdot 7^3} = \sqrt[6]{2^6 \cdot 7^4 \cdot 2^{12} \cdot 7^3} = \sqrt[6]{2^{18} \cdot 7^7} = 2^3 \cdot 7 \cdot \sqrt[6]{7} = 56 \sqrt[6]{7}$$

Тоже самое. Возможно, в задании опечатка.

Предположим, что вместо $$\sqrt[6]{2^{12} \cdot 7^3}$$ должно быть $$\sqrt{2^{12} \cdot 7^3}$$. Тогда:

$$\sqrt[3]{2^3 \cdot 7^2} \cdot \sqrt{2^{12} \cdot 7^3} = 2 \cdot 7^{\frac{2}{3}} \cdot 2^6 \cdot 7^{\frac{3}{2}} = 2^7 \cdot 7^{\frac{2}{3}} \cdot 7^{\frac{3}{2}} = 128 \cdot 7^{\frac{4}{6} + \frac{9}{6}} = 128 \cdot 7^{\frac{13}{6}} = 128 \cdot 7^2 \cdot \sqrt[6]{7} = 128 \cdot 49 \sqrt[6]{7} = 6272 \sqrt[6]{7}$$

Тут тоже ничего не подходит.

Предположим, что выражение было $$\sqrt[3]{2^3 \cdot 7^2} : \sqrt[6]{2^{12} \cdot 7^3}$$:

$$\frac{\sqrt[3]{2^3 \cdot 7^2}}{\sqrt[6]{2^{12} \cdot 7^3}} = \frac{2 \cdot 7^{\frac{2}{3}}}{2^2 \cdot 7^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{7^{\frac{2}{3}}}{7^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} \cdot 7^{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot 7^{\frac{4}{6} - \frac{3}{6}} = \frac{1}{2} \cdot 7^{\frac{1}{6}} = \frac{\sqrt[6]{7}}{2}$$

Тут тоже ничего.

Если дано $$\sqrt[3]{2^3 \cdot 7^2} \cdot \sqrt[6]{2^{6} \cdot 7^3} = 2 \cdot 7^{\frac{2}{3}} \cdot 2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} = 4 \cdot 7^{\frac{2}{3}} \cdot 7^{\frac{1}{2}} = 4 \cdot 7^{\frac{4}{6} + \frac{3}{6}} = 4 \cdot 7^{\frac{7}{6}} = 4 \cdot 7 \cdot 7^{\frac{1}{6}} = 28 \sqrt[6]{7}$$

Ответ: ни один из ответов не подходит. Возможно, в условии опечатка.