5. Найдите все значения x, при которых значения выражений x - 4; √6x; x + 12 являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии.

Если $$x - 4$$, $$\sqrt{6x}$$, и $$x + 12$$ являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии, то выполняется условие: $$(\sqrt{6x})^2 = (x - 4)(x + 12)$$. $$6x = x^2 + 12x - 4x - 48$$ $$6x = x^2 + 8x - 48$$ $$x^2 + 2x - 48 = 0$$ Решаем квадратное уравнение: $$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 * 1 * (-48) = 4 + 192 = 196$$. $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{196}}{2} = \frac{-2 + 14}{2} = \frac{12}{2} = 6$$. $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{196}}{2} = \frac{-2 - 14}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$. Проверяем значения $$x$$: Если $$x = 6$$: $$x - 4 = 6 - 4 = 2$$, $$\sqrt{6x} = \sqrt{6 * 6} = 6$$, $$x + 12 = 6 + 12 = 18$$. Прогрессия: 2, 6, 18. Знаменатель $$q = \frac{6}{2} = 3$$, $$\frac{18}{6} = 3$$. Подходит. Если $$x = -8$$: $$\sqrt{6x} = \sqrt{6 * (-8)} = \sqrt{-48}$$. Корень из отрицательного числа не существует в области вещественных чисел. Следовательно, $$x = -8$$ не подходит. Ответ: x = 6