Решение:

Дано:

• Уравнение: x² - (a + 2)x - (a + 5) = 0
• Условие: x₁² + x₂² = 9

Применим теорему Виета:

• x₁ + x₂ = a + 2
• x₁ * x₂ = -(a + 5)

Преобразуем условие x₁² + x₂² = 9, чтобы использовать теорему Виета:

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = 9

Подставим выражения из теоремы Виета:

(a + 2)² - 2*(-(a + 5)) = 9

a² + 4a + 4 + 2a + 10 = 9

a² + 6a + 14 - 9 = 0

a² + 6a + 5 = 0

Решим квадратное уравнение относительно a:

a² + 6a + 5 = 0

Найдем дискриминант: D = b² - 4ac = 6² - 4 * 1 * 5 = 36 - 20 = 16

Так как D > 0, то уравнение имеет два корня:

a₁ = (-b + √D) / (2a) = (-6 + √16) / 2 = (-6 + 4) / 2 = -2 / 2 = -1

a₂ = (-b - √D) / (2a) = (-6 - √16) / 2 = (-6 - 4) / 2 = -10 / 2 = -5

Проверка:

При a = -1, уравнение x² - (a + 2)x - (a + 5) = 0 станет x² - x - 4 = 0.

При a = -5, уравнение x² - (a + 2)x - (a + 5) = 0 станет x² + 3x = 0.

Ответ: a = -1, a = -5