6. Найдите целые решения системы неравенств ((x + 2)(x + 3) - x(x + 1) ≥ 3x + 3, 5x3 < 2x + 1.

Решим систему неравенств:

$$\begin{cases} (x + 2)(x + 3) - x(x + 1) \ge 3x + 3 \\ 5x - 3 < 2x + 1 \end{cases}$$

Раскроем скобки в первом неравенстве:

$$x^2 + 3x + 2x + 6 - x^2 - x \ge 3x + 3$$ $$4x + 6 \ge 3x + 3$$ $$x \ge -3$$

Решим второе неравенство:

$$5x - 3 < 2x + 1$$ $$3x < 4$$ $$x < \frac{4}{3}$$

Тогда система неравенств имеет вид:

$$\begin{cases} x \ge -3 \\ x < \frac{4}{3} \end{cases}$$

Целые решения: -3, -2, -1, 0, 1.

Ответ: -3, -2, -1, 0, 1.