7.5. Найдите целые решения неравенства (2x+3)(x+1)≤ x²+9. E6;1]

Ответ: [-6; 1]

Решаем неравенство:

\[(2x + 3)(x + 1) \le x^2 + 9\]

\[2x^2 + 2x + 3x + 3 \le x^2 + 9\]

\[2x^2 + 5x + 3 - x^2 - 9 \le 0\]

\[x^2 + 5x - 6 \le 0\]

Решаем квадратное уравнение:

\[x^2 + 5x - 6 = 0\]

\[D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49\]

\[x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1\]

\[x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-5 - 7}{2} = \frac{-12}{2} = -6\]

Решением неравенства является отрезок между корнями: \[x \in [-6; 1]\]

Ответ: [-6; 1]