Найдите tg 20, если sina = -√17/9 и -π < α < -π/2.

Решение:

Дано: \( \sin \alpha = -\frac{\sqrt{17}}{9} \) и \( -\pi < \alpha < -\frac{\pi}{2} \).

Угол \( \alpha \) находится в третьей четверти, где синус и косинус отрицательны, а тангенс положителен.

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

Найдем \( \cos \alpha \):

\[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{\sqrt{17}}{9}\right)^2 = 1 - \frac{17}{81} = \frac{81 - 17}{81} = \frac{64}{81} \]

\[ \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{64}{81}} = \pm \frac{8}{9} \]

Так как \( \alpha \) находится в третьей четверти (\( -\pi < \alpha < -\frac{\pi}{2} \)), то \( \cos \alpha \) отрицателен. Следовательно, \( \cos \alpha = -\frac{8}{9} \).

Теперь найдем \( \text{tg } 2\alpha \) по формуле тангенса двойного угла:

\[ \text{tg } 2\alpha = \frac{2 \text{tg } \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha} \]

Сначала найдем \( \text{tg } \alpha \):

\[ \text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{\sqrt{17}}{9}}{-\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{17}}{8} \]

Теперь подставим значение \( \text{tg } \alpha \) в формулу для \( \text{tg } 2\alpha \):

\[ \text{tg } 2\alpha = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{17}}{8}}{1 - \left(\frac{\sqrt{17}}{8}\right)^2} = \frac{\frac{\sqrt{17}}{4}}{1 - \frac{17}{64}} = \frac{\frac{\sqrt{17}}{4}}{\frac{64 - 17}{64}} = \frac{\frac{\sqrt{17}}{4}}{\frac{47}{64}} \]

\[ \text{tg } 2\alpha = \frac{\sqrt{17}}{4} \cdot \frac{64}{47} = \frac{\sqrt{17} \cdot 16}{47} = \frac{16\sqrt{17}}{47} \]

Ответ: \( \frac{16\sqrt{17}}{47} \)