Найдите tg 2α, если sin α = -√17/9 и -π < α < -π/2.

Решение:

Дан синус угла \( \alpha \): \( \sin \alpha = -\frac{\sqrt{17}}{9} \). Угол \( \alpha \) находится в третьем квадранте \( (-\pi < \alpha < -\frac{\pi}{2}) \), где синус отрицательный (что соответствует условию), а косинус также отрицательный.

Найдем косинус угла \( \alpha \) по основному тригонометрическому тождеству \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \):

\[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left( -\frac{\sqrt{17}}{9} \right)^2 = 1 - \frac{17}{81} = \frac{81 - 17}{81} = \frac{64}{81} \]

Так как \( \alpha \) находится в третьем квадранте, \( \cos \alpha \) отрицателен:

\[ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{64}{81}} = -\frac{8}{9} \]

Теперь найдем \( \text{tg} \alpha \):

\[ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{\sqrt{17}}{9}}{-\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{17}}{8} \]

Используем формулу тангенса двойного угла:

\[ \text{tg} 2\alpha = \frac{2 \text{tg} \alpha}{1 - \text{tg}^2 \alpha} \]

Подставим значение \( \text{tg} \alpha = \frac{\sqrt{17}}{8} \):

\[ \text{tg} 2\alpha = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{17}}{8}}{1 - \left( \frac{\sqrt{17}}{8} \right)^2} = \frac{\frac{\sqrt{17}}{4}}{1 - \frac{17}{64}} = \frac{\frac{\sqrt{17}}{4}}{\frac{64 - 17}{64}} = \frac{\frac{\sqrt{17}}{4}}{\frac{47}{64}} = \frac{\sqrt{17}}{4} \cdot \frac{64}{47} = \frac{\sqrt{17} \cdot 16}{47} = \frac{16\sqrt{17}}{47} \]

Ответ: \( \frac{16\sqrt{17}}{47} \).