4. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (dn), если d₄ = 4, d₆ = 16.

Решение:

1. Шаг 1: Находим знаменатель прогрессии:

\[d_6 = d_4 \cdot q^2\]

\[16 = 4 \cdot q^2\]

\[q^2 = 4\]

\[q = \pm 2\]

Рассмотрим случай q = 2:

2. Шаг 2: Находим первый член прогрессии:

\[d_4 = d_1 \cdot q^3\]

\[4 = d_1 \cdot 2^3\]

\[d_1 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\]

3. Шаг 3: Находим сумму первых пяти членов:

\[S_5 = \frac{d_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{\frac{1}{2}(2^5 - 1)}{2 - 1} = \frac{1}{2} \cdot (32 - 1) = \frac{31}{2}\]

Рассмотрим случай q = -2:

4. Шаг 4: Находим первый член прогрессии:

\[d_4 = d_1 \cdot q^3\]

\[4 = d_1 \cdot (-2)^3\]

\[d_1 = \frac{4}{-8} = -\frac{1}{2}\]

5. Шаг 5: Находим сумму первых пяти членов:

\[S_5 = \frac{d_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{-\frac{1}{2}((-2)^5 - 1)}{-2 - 1} = \frac{-\frac{1}{2}(-32 - 1)}{-3} = \frac{-\frac{1}{2}(-33)}{-3} = -\frac{33}{6} = -\frac{11}{2}\]