9. Дополнительно. Найдите х, если известно, что числа х-2, √6х, х+5 являются последовательными членами геометрической прогрессии.

Решение:

1. Шаг 1: Записываем свойство геометрической прогрессии:

\[(\sqrt{6x})^2 = (x-2)(x+5)\]

2. Шаг 2: Решаем уравнение:

\[6x = x^2 + 5x - 2x - 10\]

\[x^2 - x - 10 = 0\]

\[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 1 + 40 = 41\]

\[x_1 = \frac{1 + \sqrt{41}}{2}\]

\[x_2 = \frac{1 - \sqrt{41}}{2}\]

3. Шаг 3: Проверяем корни:

Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то:

\[6x \geq 0\]

\[x \geq 0\]

Значит, корень \(x_2 = \frac{1 - \sqrt{41}}{2}\) не подходит.

4. Шаг 4: Подставляем корень \(x_1 = \frac{1 + \sqrt{41}}{2}\) в условие задачи:

\[x - 2 = \frac{1 + \sqrt{41}}{2} - 2 = \frac{1 + \sqrt{41} - 4}{2} = \frac{\sqrt{41} - 3}{2}\]

\[\sqrt{6x} = \sqrt{6 \cdot \frac{1 + \sqrt{41}}{2}} = \sqrt{3 + 3\sqrt{41}}\]

\[x + 5 = \frac{1 + \sqrt{41}}{2} + 5 = \frac{1 + \sqrt{41} + 10}{2} = \frac{\sqrt{41} + 11}{2}\]