Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием, равным 16см, и высотой, опущенной на это основание, равной 15см.

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC, AC = 16 см, а высота BH = 15 см. Точка H — середина основания AC, поэтому AH = HC = 16/2 = 8 см.

Найдем длину боковой стороны AB по теореме Пифагора для треугольника ABH:

\[ AB = \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \] см.

Площадь треугольника ABC равна:

\[ S = \frac{1}{2} \times AC \times BH = \frac{1}{2} \times 16 \times 15 = 8 \times 15 = 120 \] см².

Радиус вписанной окружности \( r \) можно найти по формуле:

\( r = \frac{S}{p} \), где \( S \) — площадь треугольника, а \( p \) — полупериметр.

Периметр треугольника P = AB + BC + AC = 17 + 17 + 16 = 50 см.

Полупериметр p = P / 2 = 50 / 2 = 25 см.

Теперь найдем радиус вписанной окружности:

\[ r = \frac{120}{25} = \frac{24}{5} = 4.8 \] см.

Ответ: 4.8 см.