Дана равнобедренная трапеция с основаниями 5 см и 7 см, в которую вписана окружность. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

\( S = \frac{a + b}{2} \times h \)

где \( a \) и \( b \) — основания трапеции, \( h \) — высота.

В равнобедренную трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сумма оснований равна сумме боковых сторон.

Пусть основания трапеции \( a = 5 \) см и \( b = 7 \) см, а боковая сторона — \( c \).

\( a + b = 2c \)\\( 5 + 7 = 2c \)\\( 12 = 2c \)\\( c = 6 \) см.

Теперь найдем высоту трапеции. Проведем высоту из вершины одного из меньших оснований к большему основанию. Получится прямоугольный треугольник, где гипотенуза — боковая сторона \( c \), один катет — высота \( h \), а другой катет равен \( \frac{b-a}{2} \).

\[ \frac{b-a}{2} = \frac{7-5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] см.

По теореме Пифагора:

\[ h^2 + (\frac{b-a}{2})^2 = c^2 \]\[ h^2 + 1^2 = 6^2 \]\[ h^2 + 1 = 36 \]\[ h^2 = 35 \]\[ h = \sqrt{35} \] см.

Теперь найдем площадь трапеции:

\[ S = \frac{5 + 7}{2} \times \sqrt{35} = \frac{12}{2} \times \sqrt{35} = 6 \times \sqrt{35} \] см².

Ответ: \( 6\sqrt{35} \) см².