Найдите область определения функции у = √(x - 5)/15- 2x - x².

$$y = \sqrt{\frac{x - 5}{15 - 2x - x^2}}$$

Область определения функции определяется условиями:

1) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$\frac{x - 5}{15 - 2x - x^2} \ge 0$$

2) Знаменатель не должен быть равен нулю:

$$15 - 2x - x^2
e 0$$

Решим первое неравенство:

$$\frac{x - 5}{-(x^2 + 2x - 15)} \ge 0$$

$$\frac{x - 5}{-(x + 5)(x - 3)} \ge 0$$

$$\frac{x - 5}{(x + 5)(x - 3)} \le 0$$

Найдем нули:

$$x - 5 = 0 \Rightarrow x_1 = 5$$

$$x + 5 = 0 \Rightarrow x_2 = -5$$

$$x - 3 = 0 \Rightarrow x_3 = 3$$

Определим знаки на интервалах:

$$x < -5$$, дробь отрицательна.

$$-5 < x < 3$$, дробь положительна.

$$3 < x < 5$$, дробь отрицательна.

$$x > 5$$, дробь положительна.

Решением неравенства является интервал, где дробь отрицательна, и нуль числителя:

$$x = 5$$

$$x < -5$$ или $$3 < x < 5$$ или $$x = 5$$

Теперь решим уравнение:

$$15 - 2x - x^2 = 0$$

$$x^2 + 2x - 15 = 0$$

$$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$$

$$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$

Таким образом, $$x
e 3$$ и $$x
e -5$$.

Учитывая все условия, область определения функции:

$$x = 5$$

Ответ: $$x = 5$$